第 一 章   函   数

 

§1.1 初等函数

   

    数学分析的研究对象是函数。 初等数学中我们已经初步地接触到初等函数。首先我们

回顾一下初等函数, 用严厉和好奇的目光, 看一看定义上它们有什么不完善的地方, 性质上它们还有哪些深刻的东西尚不为认识, 为了进一步认识这些性质, 需要什么样的新工具。  这里讲的初等函数基本上是最基本的初等函数, 即常数函数, 单项式函数, 多项式函数, 有理函数, 幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数, 反三角函数, 我们还将介绍双曲函数及其反函数。

 

    常数函数  对所有,. 这里, 分别表示负无穷大和正无穷大。也就是说常数函数的定义域为整个实数轴。下面是  的函数图形, 它是一条与轴平行的直线。 如果表示质点运动的速度, 这函数表示匀速直线运动。那么从时刻到时刻的路程就是图中阴影部分的面积(见下图 )。

 

     单项式函数 , 对所有,。下面是,,

，的图形。

 

 

 

 

 

    

 

 

    从图中我们可以看到 ，, 是关于y轴镜面对称的，这样的函数称为偶函数。

定义  实数轴上一个子集R称为关于原点对称的, 如果对任意的, 都有

-。

定义  函数定义在关于原点对称的子集上, 如果对于任意,有 , 则称之为偶函数。

    , , 是关于原点(0,0)中心对称的, 这样的函数称为奇函数。

    定义  函数定义在关于原点对称子集上, 如果对于任意, 有 , 则称之为奇函数。

    这里我们看到, 对于单项式函数, 奇偶性恰与它的次数的奇偶性相吻合。

 

 

 

 

                                                             

 

 

 

 

如果表示质点运动速度, 那么它是匀速直线运动, 从时刻 到时刻它走过的路程是图中阴影三角形面积，等于，恰为二次单项式函数。 函数表示了匀速直线运动的路程, 取时刻函数图形对应点的斜率, 表示该时刻质点的瞬时速度, 它恰好为。 这两个函数之间关系是很深刻和重要的。一个是积分,一个是微分(或导数),构成微积分的基本研究对象。

    多项式函数    

()，它是有限个单项式函数的线性组合。

           ()

给出所有抛物线。在多项式函数中最高次数称为多项式函数的次数。奇数次多项式至少有一个根 ,。 为什么？ 你能给出证明吗？

多项式函数有个重要代数性质： 两个多项式函数之积仍为一多项式函数， 再加上它的加法运算，它构成一个环，是交换代数研究的对象。

    有理函数 , ，都是多项式函数， 通常我们假定和没有非零次的公因式。由于零不能做分母，有理函数的定义域要在实数集中除去分母的零点。

有理函数的图形一般是比较复杂的，下面是的图形， 想一想是怎样画出来的。

 

           

    有了计算机以后，现在很多数学软件， 比如 Mathematica，Maple 等，用它们画图是很容易的。 打开Mathematica 窗口，用如下命令就可画出上面图形

Plot[y=x^2/(x-1)^3,{x, 0,2},PlotRange->{-7500,7500}]

然后同时按 Shift 和 Enter 键, 就大功告成了。`

    但是请君不要忘记，软件是人编的， 数学理论和方法才是软件的灵魂！

   幂函数  ,,。如果1,2,3,..., 它就是单项式函数的一半，这里我们研究一般的 ，它甚至可以是无理数。细想一下这个函数并不简单，比如  如何定义都很难说清楚， 要等到第三册才能给出严格定义，其实 本身的定义也需建立实数理论以后才能说清楚。 现在可以用进小数逼近来描述它： 可被1,1.4, 1.41, 1.414,...任意逼近，可被3, 3.1, 3.14, 3.141,...任意逼近，而, , , 是可以定义的，它们可以任意地逼近一个实数，我们把这个实数理解为  。

 

下面图中给出 ,,,四个幂函数的图形。（见下页）

 

 

 

 

                        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

它们的上升，下降，凸凹性质是很值得研究的。

    当时， 在 严格上升， 时凸函数 (从下往上看， 严格定义以后再讲)，时凹函数。当  时，在严格下降。

指数函数  (, ).

 

   

 

 

   时在严格上升。                                              

       时在严格下降。                                                

           

           

            

             

    引进一个无理数 ..., 以后我们还要详细的研究。是一个理论和实

    对数函数 , 它与指数函数  互为反函数，即如果满足, 则一定 ，所以 的图形恰为 的图形沿对角线翻转。

    称为常用对数，它在工程中比较常用。 称为自然对数，称为自然对数的底，它在理论研究中常用。 为什么称它“自然”对数，要待日后方知。

    

            

                

    三角函数      （）

                    （）

                        （）

                        ()

                          

 

 

     周期 ，奇函数

                           

 

       周期  ，偶函数

  

                               

                周期  

                    周期 

    定义  函数定义在 上，如果存在 ，使得对 , 有，称为周期函数，是的一个周期，是，都是。 最小周期简称为周期。

    但也有的函数没有最小周期，想一想，你能找一个这样的例子吗？

双曲函数 

                  

                                                                               

 

                                     

       

      

       悬链线

               

      

 

 

 

   

 

 

   

    性质           对照    

                       

                          

    令 , , 则它们满足双曲方程 ，这是双曲函数名称的由来的原因之一。 在单位圆盘上的非欧几何——双曲几何（俄国人称为罗巴切夫几何，西方称为Poincaré几何）。双曲函数是基本的函数论工具。

    反双曲函数    反双曲正弦:

                    反双曲余弦： , 只在右半平面上存在

                    反双曲正切：

    基本初等函数看来并不简单，很多性质有待于我们进一步研究。一般的函数，其内涵更为丰富。 我们仅举一例

     ,

当其判别式时,它可以看成两个函数和 拼起来的，而每一个函数， 比如又可看成一个多项式函数和一个幂函数 复合起来的。 它的图形如下

              

    这里一条代数曲线，其中学问可谓大矣。 由此展开的数学构成代数数论的基本框架，

Fermat 大定理的证明就源于此， 可参考陆洪文的书“模形式和数论”。