§1.2 函数的一般概念

设是实数集的一个子集合，R，中元素也称为变量， 它可以表示力学， 物理，工程乃至社会人文科学中的对象。 一个变量的变化常常会引起另一个变量的变化， 这个关系通常用函数来表示。 这一节中的函数是上一节初等函数的一般化。

定义 给定 R，如果存在某种对应法则，使得对于中任一元素，都唯一确定的数 R与之对应，则称是从到R的一个函数，记作 R。函数在 点的值记作 ，称为函数的定义域，称为自变量，称为因变量。从概念上讲，（即对应法则）是函数，是函数值，两者是不同的。 但它们是相互决定的，今后在大部分场合，不加区分。 但有些场合，如微分和微分形式概念中，必需加以区分。

函数定义有两个要素, 即定义域和对应法则。 函数定义一经给定，其值域

R也就决定了，求函数的值域成为研究函数的第一个任务。

函数定义域应该是定义中给定的，无需去求。 但习惯上，往往先有一个对应法则（通

常由一个公式给出），如无特殊要求，将使这个对应法则（公式）有意义的自变量范围理解成定义域，这时就产生一个求函数定义域的问题， 当然我们不能拒绝它。 求函数定义域时两条基本原则，即零不能做分母和负数不能开平方是要切记的。

上一节的初等函数都是用公式给出的， 这是函数表示最常用的方法， 但不是唯一的方法，实际工作中还有穷举法，描述法，列表法和图形法。

定义 平面 上的点集 称为函数的图形。

例 1 绝对值函数 。

例 2 符号函数 =，

我们常有 。

例 3 Gauss 取整函数 , 表示不超过 的最大整数，其图形是黄山路上 的百步云梯。

比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4。

常有 , 及。它是计算机中将浮点数变为整点数的基本方法，不妨在计算机上试一试。 用它还可写出四舍五入的取整函数，不妨试一试。与此有关一个的函数的图形是一条大锯，画出图看一看。

例 4 公民交纳个人所得税数额由他每月收入决定

例 5 Dirichlet 函数

这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形。 它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期。

几个常用的经济学函数

需求函数： 需求量一般与商品的价格、社会需求与心理、季节有关，当然最重要的是价格因素，所以最简单的，而且一般是的下降函数。 其反函数，称为价格函数，一般它也是下降函数，需求越少，价格越贵，曲高和寡。

成本函数： 成本主要的是产量的函数，最简单的模型是，其中为固定成本，为可变成本，是产品产量，表示生产件（或其它度量单位，如吨，立方米等）产品的总成本。 称为单位成本或平均成本。

销售收入函数： ，其中为销售量，为价格。

利润函数： 。

函数的有界性 对函数 R, 若存在, 对任意, 有，则称 在上是有界函数。

如 ，, 都是有界函数；在是有界的，但在 是无界的。

逻辑符号： 存在， 任意，它们是一对，互为否命题。

R有界：, 使得 , 有。

R无界：, 使得 。

如： 在[0，1] 无界。

函数的单调性 是一区间（ 闭区间，开区间，，半开半闭区间，，，无穷区间）, R。如果,,

, 有, 则称 在 单调上升或单调递增。

上述定义中将 改为 ，则称 在 单调下降或单调递减。

如将 或 改为 或， 则称 在 严格单调上升或下降。

如： ， 在 (-, +) 单调上升，且前者严格单调上升。

例题 证明 R有界的充要条件为：,，使得对 , 。

证明 如果 R有界，按定义>0，有 ，即, 取, 即可。

反之如果 , 使得 , ，令，则 ， 即 ，使得对, 有，即R有界。

函数的延拓和限制

, R， R，, , 则 为函数在 的限制，记做 ，称为 到 上的延拓。

对延拓可加各种合理的要求，以满足人们的需求。 在信号处理或图象处理中， 如果滤波器较长，用它来对信号或图象进行变换时， 就需对信号或图象进行延拓， 通常可采用周期延拓，奇延拓或偶延拓等。