对函数可以实行加减法运算和乘法运算
，
, 
，也可以实行除法运算 
，这时要特别小心，要除去 
的点。这节中我们研究另外两种重要的运算——复合和反函数。
定义 设函数 
定义域包含函数 
的值域，则在 
的定义域上可以用以下法则确定一个函数
，称之为
与
的复合函数，记作
。我们总有
。
这里“
”运算是非交换的，一般的没有 
。但它是结合的：
，故可定义 
。
例 , 
, 它们的复合 
。
2．反函数
定义 设
R是一函数，如果
，
, 由
(或由
)，则称 在
上是 1-1 的。
若
，
，称为满的。
若 是满的 1-1 的，则称为1-1对应。
R是1-1 的意味着
对固定
至多有一个解
，是1-1 的意味着对
， 有且仅有一个解。
定义 设是1-1对应。
, 由唯一确定一个
, 由这种对应法则所确定的函数称为的反函数，记为
。
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域
显然有
(恒等变换）
(恒等变换)
。
从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为
, 这样它的图形与 的图形是关于对角线
对称的。
严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数。 但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子
它的反函数即为它自己。
实际求反函数问题可分为二步进行：
1. 确定 的定义域和值域
，考虑 1-1对应条件。固定 ，解方程 
得出 。
2. 按习惯，自变量、因变量互换，得 
。
例 求 
：R 
R的反函数。
解 固定，为解 
，令 
，方程变为
( 舍去
)
得
，即
，称为反双曲正弦。
定理 给定函数，其定义域和值域分别记为和，若在上存在函数
，使得 
, 则有
。
分析
要证两层结论：一是的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了，
二是要证。
证 要证的反函数存在，只要证
是到的 1-1 对应。，，若
， 则由定理条件，我们有
，即 是 1-1 对应。
再证 。，
，使得。由反函数定义 ，再由定理条件
。
例 
R R，若
存在唯一（
）不动点，则也不动点。
证 存在性，设
，
，即
是
的不动点，由唯一性
，即存在的不动点
。
唯一性： 设
，
，说明 
是的不动点，由唯一性，=。
从映射的观点看函数。
集合
满足某种性质的事物的全体称为集合，其中的每一事物称为元素。通常用大写字母
表示集合，用小写字母
表示元素，比如为
中的一个元素，表示为
。
例 N
自然数集合
Z
整数集合
Q
有理数集合
R = 实数的集合，第三册再定义。
C
复数的集合。
集合表示法 列举法， 如 {2，汽车，熊猫}。
描述法：
或 
。
子集
，即 
。 称包含于
，或为的子集。
且
。
真子集 
，即且
, 
。
集合的运算 并，交，差（韦恩图）。
补集（余集） 
， 
。
定义 给定两个集合和，若存在一对应法则，使得对 
，都有唯一与之对应，记为 ，则称 为一个映射。称为定义域， 称为取值域，
称为值域。
若
，
，则称为
的；若
，称为满的；若既又满，称为对应。
为有限集合，它们中的元素的个数相同
存在
为对应。