第 二 章 极 限

§2.1 序列极限定义

定义域为N的函数也称为序列，记为，习惯上记为 ，或简单地记为。其中称为通项，它可由公式给出，也可由其它法则给出。

如：

, , , , , ...

在信号处理和图像处理中，计算机无法处理连续变量的函数，都要通过采样来处理，一元函数经采样后就得到一个序列。

这里我们关心的是当越来越大时，序列的行为特点，如，当越来越大时，越来越接近于0。我们称它以0为极限。

描述定义 给定序列，当无限增大时，无限地接近于，称为当趋向无穷时序列的极限，记作

或

。

例 1 。

例 2 , 没极限。

如何精确地刻画“无限接近”这一概念，我们用“误差”方法。而“误差”是用绝对值刻画的。

定义

命题 。

格运算 Ú

Ù

几何意义

为线段（或）的中点，为距离，为中点加上两点距离之半，当然就是中最大的一点。

性质1． ，

。

2． , 等号成立同号，推广 。

3． 。

4． 。

注： 4 也可以写成，它表明对任何两个非负实数，它们的几何平均小于等于算术平均。

就是说与的误差要多小就有多小，只要充分大。

定义 N，使得当时，有 则称序列的极限为，记作 或 。

几何意义 称为的邻域，是指对的任何邻域，序列在这一邻域外只有有限项。

例1 求证 。

证 不妨设，要使 ，只要 （注意这里 ），只要 。 取，则当 时，就有 ， 即 。

例2 求证。

证法1 先设，，要使 ， 只要 ， 只要 ，只要 。

取 ， 当 时，就有，即 。对，令 ，则 。

证法2 令，则 ，

, 要使, 只要 ，取，只要，就有，即。

例3 证 。

证 因为 ，， 要使，只要，取 ，则只要 ，就有，即。

总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。