象四则运算一样，我们把求极限也看成是一种运算，但这种运算是施加在无穷序列上，取值是一个实数，如果存在的话，但还有大量不存在极限的序列。
定理1（唯一性）若序列的极限存在，则极限值唯一。
证 反证法，如果不然，至少有两个不等的极限值，设为
和
，
，
，
，取
，由极限定义，
，使得当
时， 有
， 
又
，使得当 
时，有
则当
时，有
矛盾！
定义 若 
，使得
，
，则称 
有界。
定理2（有界性）若序列有极限，则有界。
证 设 ，取 
，按定义，
，使得当
时，有
， 
。
令
，则对
，有，故有界。
下面定理表明求极限这种运算与四则运算可交换。
定理3（四则运算） 设
，
，则
1）
2）
3）若 
，则 
。
证：1）
，由，
，使得当时，有
。又由
，，使得当时，有
。 取
，则当时，有
即 。
2） 分析
加一项，减一项称为插项方法，是一个至关重要的方法。
由有界性定理，
，，
。令 
， 
，由， ，使得当时，有
。又由
，，使当时，有
。取，则当时，有
即。
3） 由2），只要证 
。
分析
, 
当
充分大时。
由 
，令
，使当时，有
，即
。
, 由 ，，使得当时，有
。
取，则当时，有
，
即。
用归纳法，可得有限个序列的四则运算：
，
。
但将上述
换成
，一般不成立。事实上
或
本身也是一种极限，两种极限交换次序是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体什么条件，到第三册我们会系统研究这个问题。
下面定理表明求极限是保序的运算。
定理4 给定两个序列
，
，若，
且，，则
。
证 反证法，如若不然，
，取
，由，，使得当时，有
， 
又由， ，使得当时，有
， 
当时，有
， 矛盾。
定理5（两边夹或逼夹定理）给定序列
和
，满足，
且
，则
。
证 ，由，，使得当时，有
， 即 
，
又由
， ，使得当时，有
， 即 
。
取，则当 时，有 
或 
即 。
例1 
在证明中, 令
， 
，得
，由此推出
。
由此例也看出由
和, 也推出。
定义 极限为
的变量称为无穷小量。
推论
1） 
，无穷小量加绝对值仍为无穷小量。
2） 
，无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。
3） 
，