§2.3 确界与单调有界序列

决定一个序列是否有极限，目前我们只能用定义判定，但那必须先知道极限值，这就是说定义不能解决极限存在问题。 事实上，这是个很深刻的问题，这一节我们给出一个极限存在的判定定理，但需到第三册才能证明它，这里将给出能够令人接受的说明。用它我们可以定义一个新的无理数，在讲指数函数和对数函数时我们已经使用过它。

定义 R, 如果, 使得对, 有, 则称是的一个上界。

有没有最小上界？ 何谓最小上界，且看下面的定义。

定义 R, 数若满足

1）是的上界

2）是任一上界，必有

则称是的最小上界或上确界，记作 或。

定理1 充要条件

1） 是上界，

2） 使得。

证 必要性，用反证法。设2）不成立，则 使得，均有，与是上确界矛盾。

充分性， 用反证法。设不是的上确界，即是上界，但。令，由2），，使得，与是的上界矛盾。

定义2 R，满足

1） 是下界，

2） 是的任意下界，必有。

则称为的下确界或最大下界。记作： 或 。

定理2 一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界。

该定理要到第三册方能证明。这里我们给一个可以接受的说明。R，非空，，我们可以找到一个整数，使得不是上界，而是的上界。然后我们遍查 和，我们可以找到一个，，使得不是上界，是上界，如果再找第二位小数， 如此下去，最后得到，它是一个实数，即为的上确界。

定义 称为单调上升的，若。

称为单调下降的，若。

定理3 若序列单调上升（下降），有上（下）界，则序列存在极限。

证 设单调上升，即，有上界，即，使得。

考虑集合，它非空，有界，定理2推出它有上确界，记为。我们验证 。

，由上确界的性质，，使得，当时，由序列单调上升得，再由上确界定义，，有 ，即，也就是说 。

同理可证若单调下降，有下界，也存在极限，且。

例1 证明 存在。

证 令, 先证它单调上升，

，

再证它有界

由定理3，知存在，值记为，它是一个无理数 。

称为自然对数，何以称为“自然”，下章将见分晓。