§2.4 确界存在定理与区间套定理
我们曾引入有界数集的确界概念，今证明它的存在性（记号
、
、
表示实数）
定理1 非空有上界的数集
必存在上确界。
证明 设
非空，有上界： 
，
。
（1）若中有最大数
，则即为上确界；
（2）若中无最大数，用下述方法产生实数的一个分划；取的一切上界归入上类
，其余的实数归入下类
，则
是实数的一个分划。
、不空。首先
。其次，由于
不是的最大数，所以它不是的上界，即
。这说明中任一元素都属于下类；
、不漏性由、定义即可看出；
、不乱。设
，。因不是的上界，
，使得
，而内每一元素属于，所以
。
由的证明可见无最大数。
所以是实数的一个分划。由戴德金定理，知上类必有最小数，记作。
，由知，即得
。这表明是的一个上界。若是的一个上界，则，由此得
，所以是上界中最小的，由上确界定义，为集合的上确界，记作 
。
推论 非空的有下界的集合必有下确界。
事实上，设集合有下界，则非空集合
有上界
，利用集合
上确界的存在性，即可得出集合的下确界存在。
由第二章知道，若集合无上界，记作
；若集合无下界，记作
，这样一来，第二章证明了的单调上升（下降）有上界（下界）的序列
，必有极限
的定理现在有了严格的理论基础了。且对单调上升（下降）序列，总有
。
定理1解决了非空有上界集合的上确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性。
若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们称该全序集是完备的。定理1刻划了实数集是完备的。
例1 证明实数空间满足阿基米德原理。
证明 
，要证存在自然数
使
。假设结论不成立，即
， 
，
则数集
有上界，因此有上确界，使
，也就有
，或 
。这表明
是集合的上界，与是上确界矛盾。所以总存在自然数，使。
例2 1）证明序列
的极限存在；
2）求极限 
。
解 1） 因
时有
，
所以
，
即有 
。
这表明序列有下界。又
，
故序列下降。因此序列极限存在，记极限值为。于是
，
或 
。
2） 因
所以 
， 又 
，
即得
。
定理2 设
是一串闭区间，满足：
（1）
对任何自然数，都有
，即 
。
（2） 当
时，区间长度趋于
，即 
。
则有
，且是一切区间的唯一公共点：
。
证明 由假设（1）知，序列
单调上升，有上界
；序列
单调下降，有下界
。因而有
，
. 
。
再由假设（2）知
，
记
。 从而有
。
若还有
满足
，令，得
。故是一切的唯一公共点。证毕。
这个定理称为区间套定理。关于定理的条件我们作两点说明：
（1）
要求是有界闭区间的这个条件是重要的。若区间是开的，则定理不一
定成立。如
。
显然有 
， 但 
。
如果开区间套是严格包含：
，这时定理的结论还是成立的。
（2） 若，但
，此时仍有，，但
，于是对任意的，
，都有
。
全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集，则称该全序集是完备的，定理2刻划实数集是完备的（这里完备定义与上段完备定义是等价的）。定理2也给出通过逐步缩小搜索范围，找出所求点的一种方法。
例3 序列由下列各式
， 
， 
所确定（见下图）。证明极限
存在，并求此极限。
证明 当
时，
，故