R, 
称为
的一个邻域，简记
。
称为的一个空心邻域，简记为
。
定义 设
在上定义。
, 
, 使得当
时 （即
），有
（ 即 
）
则称
趋向于 时，函数的极限为
，记作
或 
。
几何解释 任给
，存在
，使得当 时，有
，则称 。
例1 证明 
。
证 注意到
，要想它任意小，
可任意小，
却不能任意小，当
时，它必须远离零点。当
时，
就远离零点了。 , 取
，则当
时, 有
。
函数的极限与序列的极限类似，也有相应的性质，证明也采用相同的思想，把“
” 换成“
”。 我们把相应定理罗列出来，选其中一部分给出证明，其余的证明留给同学们作练习。
定理1（唯一性） 若 
极限存在，则极限值唯一。
定理2（局部有界性） 若极限 存在，则函数在的某一空心邻域上有界。
定理3 设, 
, 则
1) 
,
2) 
,
3) 
。
定理4 设在上，
且, ，则
。
定理5
设在上有 
, 且
, 则
。
定理2的证明
取
, 由 , , 当时, 有
,
即
，
说明在上有界，
就是一个界。
定理3之3）的证明
只要证
，令
，由，
使得当
时，有
， 即 
。
, 仍然由，
, 使得当
时，有
。
取
，则当
时，有
即 。
定理5的证明 , 由，，使得当时，
有，即 
。
又由
，，使得当时 ，有
，
即
。
令，则当时，有
即 
，故 。
例2 证明 
。
证 先设
，要证
，，要使
, 取
，则当
时，有 
，即 
。
再设
，, 要使
， 注意到
，
只要
, 且
，取
，则当
时，有， 即 。