§2.6
函数极限的推广
我们已经建立极限概念 
， 我们想推广它： （1）
可被
，
，
，
，
代替，（2）
可被
代替， 严格地说这时极限已经不存在了，我们称之为广义极限。
点
的右邻域指的是 
，
点的左邻域指的是 
，
点的右空心邻域指的是 
，
点的左空心邻域指的是 
。
定义 设
在
上定义，
, 
, 使得当
时，有 
, 则称
，也记 
，称为右极限。
类似地可定义左极限。
例 
， 
对单侧极限，5定理，即唯一性，局部有界性，四则运算，极限不等式，两边夹仍成立，我们把5定理的表述和证明都留给同学们做练习。
定理1 函数在点极限存在充要条件： 函数在点左右极限都存在且相等。
证 必要性，, 由, , 使得当
时，有，特别地当时，有，故。
同理当
时，也有, 故
。
充分性，, 由，
, 使得当
时，有, 又由, 
, 使得当
时，有. 令
, 当时，有，故。
称集合
为
的邻域，记作
或
，称
与
为的单侧邻域，记作
（ 
或
），
（
或
）。
定义2 设 在上定义，, 
, 使得当
时有
，则
。
类似地可定义
对这种极限，5定理也成立，我们还是把它们的表述和证明留给同学们做练习。
3．广义极限
定义 设在
定义，
，，使得当时，有
，则 
。
类似地可以定义
，
，
，
，
对于序列
，也可以定义
。
练习：完成下表中极限和广义极限定义。
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注 表中第一行表明极限存在，关于极限性质的5定理都存在；第二，三，四行极限不存在！关于极限性质的5定理不一定成立，就是成立也要改变形式。不成立的如
，
, 
, 
称为不定式，需要我们建立更精细的理论来研究它们，后面第四章的洛比塔法则就是针对不定式的。在广义极限中唯一性还成立，局部有界性显然不成立，但可代替它有局部下有界或上有界，四则运算成立的有
, 
, 
, 
, 
。
无穷小量 极限为零的变量称为无穷小量，即
,
无穷大量 极限为无穷
的变量称为无穷大量，即
它们有关系 
，如果变量不取零值。
命题 1) 无穷小量的绝对值仍为无穷小量，
2) 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量，
3) 变量有极限
充要条件是它可分解成与无穷小量之和： 
。
例 
。
解