第 三 章 连 续 函 数
§ 3.1 连续和间断
定义 
定义在
，
, 若
，则称函数在点
连续，称为连续点，否则称为间断点。
函数在
连续也可用
语言来叙述：定义于，,若
，
, 使得当
且
时，有
，
则称在点连续。
等价地也可表述为
, 
且
，
即如果在左右极限都存在，且等于该点函数值，称在该点连续。
定义 （1）若函数在点左右极限存在且相等，但不等于该点的函数值，则称为可去间断点。
（2）若函数在点左右极限存在，但不相等，称为第一类间断点。
（3）若函数在点的左右极限至少有一个不存在，称为第二类间断点。
在可去间断点上，我们修改在定义，
，则它就变成在连续的函数了，这就是“可去”的意思。这不是本质间断的。另两类间断点才是本质的。
可去间断点
第一类间断点
第二类间断点
例
（ⅰ） 
是连续点，其余都是第二类间断点。
（ⅱ） 
是可去间断点。
（ⅲ） 
是第一类间断点。
（ⅳ） 
是第二类间断点。
（ⅴ） 
是第二类间断点。
（ⅵ） Dirichlet 函数 
每一点都是第二类间断点。
（ⅶ） Riemann 函数 
所有有理点为可去
间断点，无理点为连续点。
定义 若在区间上每一点连续（闭区间情况端点单侧连续），则称函数在区间上连续。
定理 在上单调，则只有第一类间断点。
证 无妨设在单调上升，
，当
时，函数值单调上升，有上界
，所以极限存在，且
。
同理
。
若
，为连续点，若
，为第一类间断点。
连续函数是一类“比较好”的函数，是研究微积分的基础。
微分或导数是求曲线在点切线的斜率，函数在连续，是切线存在的必要条件。积分是求区间
上曲线下面的一块曲边梯形的面积，函数在上连续，是面积存在的充分条件，连续不是可微的充要条件，也不是可积的充要条件，是介乎中间的一类函数，其直观意义是“不间断”，即不被剪开，也不被振断。