§3.2 连续函数的性质
1. 定理1 
定义在 
上，在
点连续，
，则
使
，
，（湮符号性质）。
定理2 设，
在点连续，则
（1）
在点连续；
（2）
在点连续；
（3）
若
，
在点连续。
推论 若
，
, 则
，
,又若
。
连续是用极限定义的，本推论是极限四则运算定理的直接结果，不证自明。
定理3 设
在 
点连续，
在
点连续，且 
，则
在点连续。
这是复合函数求极限定理的直接结果，因其证明方法具有典型性，这里我们还是给出其证明。
证 
, 由
在
连续，
, 使得当 
时，有
.
对于
，由在连续，
, 使得当
时，有
。所以当时，有
，即
在点连续。
推论 若
，值域包含于
，
，则
2．
下面我们给出闭区间上连续函数的基本性质定理，这里我们给出证明，但目前不要求同
学们掌握，到第三册我们还会回到这个课题。
定理
( Bolzano-Cauchy 第一定理）设
，
,则
，使得
。
一条不间断的绳子，两头夹住，一头正，一头负, 总有一点
使得。
证明：不妨设
，
。用中点
将
一分为二，得两区间
和
。若
，取
即可。不然若
，取
;
若
，取
，这保证
，
。
再用中点
将
一分为二，如上面方法选
。 如此下去，在某一步如有
，取
即可，否则我们得到一区间串
，满足
1） 
，
；
2） 
，当
时；
3） 
。
由区间套定理，存在
，使得
。
再由3）及连续函数性质，有
，
，
从而 。
定理（Bolzano-Cauchy 第二定理） 设，值
介于
和
之
间，则
，使得
。
证 不妨设
， 作
， 
且
，则由Bolzano-Cauchy第一定理，使
，即
。
定理（Weierstrass第一定理） ，则在上有界。
证明： 如若不然，在上无界，
N，
，使得
，对于序列
，它有上下界
，波尔察诺定理告诉我们
使得
，由在连续，及
有
，
矛盾。
定理（Weierstrass第二定理） , 则在上达到上、下确界。
证 令
，
, 如果达不到
，则恒有
。
考虑函数
，则
，因而有界，即
，
从而
，这与是上确界矛盾，因此
，使得
。
类似地可以证明达到下确界。
定义 设定义在区间
上，, 
, 使得当
, 
,
时，有
，则称在上一致连续。
一致连续比一般地连续要强：在连续，
，，
，使得当，
时，有