1．
多项式函数 
。
有理函数 
，
三角函数 
2．定理 区间上严格单调函数，如果值域为一区间，则函数连续。（见上图）
本定理可看成Bolzano-Cauchy第二定理之逆：连
续函数可以取到一切中间值，反之不对，看例子
它可取一切中间值，却不连续。 但如加上严格单调条件，就成立了。
定理的证明 不妨设
在区间
严格上升，若在
不连续，
则
中必有一严格不等号成立，比如
，则值域包含在
中，就不是一个区间了。
下面定理给出反函数的连续性。
定理 设
，严格上升，记 
,
（
可能为
）
则 （1） 在
上存在反函数
；
（2）
在上严格上升；
（3）
。
实际上
和表示是同一条曲线，单调性和连续性都是这条曲线的固有性质，这定理结果是再也自然不过的事实。
证 （1）因严格上升，反函数一定存在，需要证
的定义域恰为。
，由上、下确界定义，
, 使得
。在
或
上应用Bolzano-Cauchy第二定理，
或
，使得
，由
的任意性，得到为
的值域，即为的定义域。
（2） 设
, 
, 要证
，若
，由反函数定义及的严格上升，得
, 矛盾，所以严格上升。
（3）在严格上升，值域为
，由定理1知。
注 若
严格上升，令
, 则结论中改为
仍成立，对严格下降函数也有同样结论。
由此可得 
。
3． 指数函数
、对数函数
和幂函数
连续性
引理 设
为正整数，则
， 使
。由此我们可以定义
。
证 在区间
上考虑函数
, 且
。
Bolzano-Cauchy第二定理给出
，使。
如果
，即
，
，由函数
严格单调，推出
，即唯一性。
定义 若
（
正整数，互素）为正有理数，
。 若
为负有理数，
，定义
。 若
为无理数，定义
。
这里需说明
存在：当为有理数时，
是单调上升的，即 
时，
，
，所以存在。
最后无论
为有理数还是无理数，都有
。
命题 
严格上升，在
上连续。
证 设
，
有理数
，使得
, 由此
。
, 
, 
, 使得
，取有理数，使得
, 
, 则 
, 
,
, 所以
。
指数函数还有性质 
。
命题 对数函数
。
证 
在上严格上升，连续，其值域为
，所以其反函数
在也严格上升，连续。
命题 幂函数
。
证 它是指数函数
和对数函数
的复合函数，每个函数都连续，它们的复合也连续。
结论 一切初等函数都在其定义域上是连续的。
求极限的指数法则 若
，
，则
。
证 如果
在
点连续，且
，则
在点连续，补充定义
，
，则
。
上述极限过程当
时仍成立，只要利用变换
就行了，例如：
中我们注意到
，很容易得到它趋向于
，当
时。
连续
与
可交换：
；
。