第 四 章 导 数 和 微 分
1．
定义 设
在
上定义，
, 若极限
, 
存在，则称
在
点可导，称极限值为函数在点的导数，记作
。
若在上每一点都有导数，则
也是一个函数，它是由导出的新函数，称为的导函数，简称导数。
记号 
或 
（Leibniz）
或 
(Lagrange)
或 
(Cauchy)
或 
(Newton)
今后在本课程里常用或
，力学中用或
。
几何背景
，
, 
表示割线
的斜率，当
时
, 割线趋向于一个极限位置，为曲线在
的切线，其斜率
即为在
点导数,
。
物理背景 
，
表时间，
表质点运动位移，
表时间增量：
； 
表位移增量： 
，
，这样
表示时间内平均速度，
表示
在时刻的即时速度。
也是时间的函数，我们还可对它求导，
称为加速度，如此下去还有加加速度，
比如自由落体
，
。 
。
命题 可导必连续，反之不一定对。
证 如果在点可导，当
时
，
所以如果在点可导，它在该点必连续。
反过来，我们举一个反例，
，当
时连续，但
，
当时，极限不存在，故不可导。
上述反例中定义导数的双侧极限不存在，但单侧极限是存在的，我们称之为单侧导数。一般地我们可以定义
左导数 
，
右导数 
。
在可导充要条件是左右导数存在且相等。
例1 Dirichlet 函数 
讨论下列函数在连续性，可导性。
（1）
， （2）
， （3）
。
解 （1）在间断，是第二类间断点。
（2）在连续，但不可导。
当时不存
在极限。
（3）在连续，且可导，导数为
。
例2 
（1）
在间断，是第二类间断点。
（2）
在连续，不可导，甚至单侧导数也不存在。
（3）
在连续，可导，导数为
。
先证三个重要极限：
1） 
，
2） 
，
3） 
。
证 1）注意到
在
连续，我们有
。
2）令
，当
时，有
，作变量替换
，我们有
。
3）令
，当时，有，在公式
中，取对数，得 
，这样
，当时。
1．常数函数 
，则
。
2．幂函数 
（定义域与
有关，对任何，
总有定义），
。
，当时。
特别： 
，
。
3．指数函数 
，
。
，当时。
4．对数函数 
，
。
，当时。
特别地，