1． 复合函数微分法
定理 设
与
存在，
，则复合函数
在
点可导，且 
。
注 若
的定义域包含
的值域，两函数在各自的定义域上可导，则复合函数在
的定义域上可导，且
（怀中抱月）
或
，
。
定理的证明 定义函数
在
点连续，
由恒等式，
，我们有
令
，得 。
我们引进是为了避免再直接写表达式
中当
时，可能会出现 
情况。
例1
，求
。
解
例2 
，求。
解 
。
例3 
，求。
解 
。
例4 
，求。
解
。
例5 
，求。
解 
时，
； 
时，
， 
时，
。
例6 
，求。
解 
。
若可微函数
满足方程
，则其导数可以从
求出。一个方程何时能唯一决定一个可微函数，留待日后解决，现在我们通常假定能唯一决定一个可微函数，考虑如何求出导函数问题。
例7
，求过点
的切线方程。
解 对方程求导，心中记住是
的函数，得
在点上，
，过切线方程为
，
，
即 
。
我们结合例子研究对数微分法
例8 
，求。
解 函数定义域
和
，取对数 
，两边对求导，采用隐函数微分法，得
，所以 
。
例9
，
，
，求。
解 取对数，得
，两边求导，得 
，
。
如
，
。
定理 设
在区间
上连续，严格上升，在
点可导，且
， 
。则反函数
在点可导，且
。
注 若在可导，导数
，则反函数存在，且
。
这里导数可推出
严格上升（下降），反函数之导数公式也可写成
。
定理的证明 要证
存在，注意到这个比式是函数
与
的复合，由定理条件知
。
再由反函数连续性，时，
，由复合函数求极限定理得
。
例10
，求。
解 
，
，反过来，如果
已知，也可求 
。
例11
，求。
解 
，
。
例12 
，求。
解
，
例13
，求。
解
例14 
，求。
解
同理可得 
。
，
，
性质 
由 
反双曲函数