1．如果
是直线上质点运动位移，则
就是质点运动中的速度，
为加速度，这样很自然地可以引进高阶导数概念。
一般地可由归纳法定义：
是
的
阶导数，它的
阶导数定义为
。形式地记
，引进一个记号
在概念上高阶导数没有什么新东西，但在具体求高阶导数时还是需要一些新技巧。
例1 
，求
。
解 
，
，
。
例2
，求。
解 
，，
当
为正整数时，
，
，
，
。若
是
次多项式，
，则
。
例3 
，求。
解 
，
，
， 其中规定
。
例4
，求。
解 
，
同理可得
用 Euler公式，
, 形式地
所以 ，
。
例5
，求。
解 
。
特别地 
，
。
2．
Leibniz 公式
。
定理 若
有任意阶导数，则
，
。
证 用归纳法，
已经成立。 设时成立，我们来证
时也成立。
这个证明与牛顿二项式展开公式证明的格式是一致的，这里的更标准。最后一步用到了恒等式
。
复合函数，反函数，参数式，隐函数归纳不出求高阶导数的公式，但至少我们可归纳出二阶，三阶导数的公式，那也是非常有用的。
例如 
设
, 
互为反函数，则
又设
为参数式，则
再设
定义隐函数，则对两边求一次导，得出含
的方程，解出来；求二次导，得出含
的方程，可解出来。
例6
，求
。
解 这个函数求
的公式是困难的，但求相对容易，这在今后研究它的Taylor 展开式时是有用的。
， 
两边再对
求一次导数，得
。当
时，
，可除去
项，得
。求
次导数，用Leibniz 公式，得
把
代入，得
，
，
，
例7
设
在
点有一，二阶导数，满足
，
。
求过点
的圆
，使得它在
点与给定函数有相同的一二阶导数，该圆称为曲率圆，R 称为曲率半径，
称为曲率，点
称为曲率中心，它在工程中，比如铁路转弯的
设计中非常有用。
解 需要求的参数有三个
。它们满足
（1）
过点： 
（2）
在点一阶导数相同 
（3）
在点二阶导数相同 
由（3）解出
由（2）解出
由（1）解出 
。
导数概念在经济学中就是通常的“边际”的概念。
设为一个经济函数，则
称为该函数的“边际”函数。 如，
为需求函数，则
为“边际”需求函数； 
为成本函数，
为“边际”成本函数； 
为利润函数，
为“边际”利润函数。
产品按件计算时，
用差分来代替导数，它表示产量每增加一个单位（一件）时，经济函数的增加量，这就是“边际”函数的定义。
例 1： 某企业每月生产吨产品的总成本
（千元）是产量的函数
，如果每吨产品的销售价格为
千元，试求每月生产8吨，10吨，15吨，20吨产品的实际利润。
解： 销售收入函数
（千元），
利润函数 
这里成本函数
表示固定成本20千元，可变成本
（千元/吨）是产量的函数，它表示可变成本随产量增加是线性增加的，这是这个模型的关键。
当
时， 
当
时。
， 
， 
，