1.
微分定义
定义 设
定义于
，
, 且
则称
在
点可微，
称为函数的微分，记为
,
即
是
的线性主部。
定理 函数在点可微的充要条件：函数在点可导，且
。
证 必要性, 设在点可微，即
则
当
时，故
存在，且
。
充分性, 设在点可导，即
存在。
则 
或 
即
故在点可微，且。
令
，
, 
, 即自变量的微分是
，所以
。 从这可看出符号
的合理性，从而导数也称为微商，即两个微分之商。用这种记号记忆以下公式是十分方便的：
微分的几何意义是在局部以直代曲，如图。
。
当
充分小时，近似地认为
等于
，即在点局部，可用直线代替曲线。
考察复合函数
，
, 
, 求微分
观察看出
对求微分时，不管
是自变量还是函数, 所得结果的形式是不变的，这个性质称为一阶微分形式的不变性。它为一阶微分形式所独有，对高阶微分就不成立了。
考察函数，其一阶微分
，这时，
是独立变量，即是和的函数，
这里
是一种简单记法，不要误解成
。在
计算中，把看成常数，得到
，一般地可得到
，这是
阶微分，这对理解记号
作为高阶微商，即高阶导数就很自然了。
对高阶微分，我们有
，
，
如果有复合函数：，，我们有
，即一阶微分有形式不变性。
一般地当不是线性函数时，
，所以二阶（从而二阶以上）微分没有形式不变性。事实上
当且仅当
，即线性函数。
微分的定义告诉我们它可以用来做近似计算，这在后续计算方法课程中还要详细讲解。
由于一阶微分有形式不变性，我们有如下微分表：
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