§4.6 微分中值定理

定义 若的邻域，使，，称为极大值点，称为极大值；上述定义“”改为“”时，定义极小值点和极小值。严格不等号成立时，称严格极值。

最大，最小是全局概念，极大，极小是局部概念，应注意区分。

定理 （P.Fermat） 设在有极值，且存在，则。

证 无妨设为极大值，则当时，且时，有

令，得。

当时，有 。令，得，由此推得。

Fermat 定理表明导数为0是极值必要条件，但是如果，那么它能达到最大值，如果它又可导，在内只有一个根，则比较，，就可定出最大值。

定理（M. Rolle）设，在可导，且，则

，使得。

ξ

证 因为，在上有最大值与最小值，如果，则，这时，可取中任意一点作为，如果，其中至少有一个不等于。不妨设，我们假定在取到最大值，，即为一个极值点，且存在，由 Fermat 定理，。

定理（Lagrange中值）设，在可导，则，使得

。

ξ

证 作辅助函数

，

它有明显几何意义，即它表示连接三点 的三角形面积之二倍，那么，在可导，且，用Rolle定理，，使得，即

， 。

辅助函数造法很多，比如可以用以下方法

，

，

。

然后借助于Rolle定理都可证明Lagrange定理。

注释 量表示连接两点和的弦的斜率，不管还是都对。Lagrange定理表明存在中一点，使恰等于这个斜率，Lagrange定理也称Lagrange公式，它也可以写成，其中介于与之间，它可以看成用线性函数在局部对的逼近。它还可写成

，

，

其中，。

这里，只要指出满足。当时，，，，得。当时，，

，得。

推论1 设，且在可导，，则。

证 Lagrange定理给出，，，由此得

。

推论2 设 ，，在可导，并有，则

。

证 对应用推论1即得。

定理 （Cauchy中值定理） 设，，且在可导，，则

，使得 。

证 对和分别应用Lagrange定理，我们可得，这里与可能不一样，这是一条错误之路，本定理关键要求是一致的。作函数

，

它的几何意义是在参数曲线 上，三点

连成的三角形面积之二倍。则满足Rolle定理条件，故，使得，即，得证。

注1 与Lagrange定理证明类似，我们也可借助其它形式的辅助函数，比如用

。

注2 时，Cauchy定理推出Lagrange定理。

注3 不管还是