§4.7 delHospitale 法则

求极限是数学分析中一种基本的运算。常用的法则，我们可以归纳如下：

。

上述运算中，分母极限，底的极限。这些条件不满足，就不能应用上述法则。但有些是定式：如，有些就是不定式了，共有七种：，，，，，，。

本质上只有两种：与。其它的可变换到这两种来求，如就成为型，或者变成型。

例 ，，证明 。

证 记，由，对，，使得如果

，有，即。

，由及，，使得如果，就有及。

取，则当时，有

故。

型不定式

定理1 设

1），在上连续，且，

2），在上可导，且，

3） （为有限或），

则。

证 先证，由1），我们补充定义，则，成为在连续，上可导函数。，，在满足

Cauchy中值定理条件，所以有

， ，

由3），，所以。

同理，综合起来有。

注 把 改为或结论也成立。

定理2 设

1） ，在连续，且，

2） ，在可导，且，

3） （为有限或），

则。

证 先算极限，然后再验证条件。

其中只有第二个等式需要说明它满足定理的条件。不妨设，，在上连续，且，且，在可导，且

，有 。

注 把换成和也有相应的结论。

例1

解 。

例2

解 。

例3

解 。

型不定式

定理3 设

1），在上连续，且，，

2），在可导，且，

3）（有限或），

则。

证 只对和情况证明。

，由3），，当时，有

，

，在上应用Cauchy中值定理，得

， 这里，

即

故

。

又由于，有，，所以，使得当时，有

，

令，当时，有

。

即。

定理4 设

1） ，在上连续，且，

2） ，在上可导，且