第 五 章  不 定 积 分

 

§ 5.1 原函数

 

    考虑质点沿直线运动，已知位移，求即时速度：是求导运算；反过来，如果知道每个时刻的即时速度，求位移，则是个逆运算，即要找一个函数，使得。这个就是的不定积分，也称为原函数。

    定义 在区间上 给定函数，若存在使得， 或，，则称是的一个原函数，的全部原函数称为的不定积分，记作 ， 若存在原函数，称可积。

定理 设是的一个原函数，则

             

其中为任意常数。

    注 我们只要找到的一个原函数，那么它的不定积分就有形式，即任二个原函数之间仅相差一个常数。

证 由，即对任何常数，都是的原函数，再证它们是全部原函数。设为另一原函数，，那么

，我们得到。

几何上看是明显的，曲线和在点有相同切线斜率。

                     y

 


                                              F(x)+C2

 


                                              F(x)+C1

 


                                                        x

    实际问题中，加上某些初值条件（如）可以把常数确定下来。

不定积分既然是求导逆运算，从求导数的表我们可以导出如下不定积分表，它是我们计算不定积分的基础，务必牢记。

    

    

    

    

    

        

        

        

        

        

        

        

        

        

性质1 设可积，则也可积，且

                。

性质2 设可积，则可积，且

                。

    注 这两条性质说明不定积分是一种线性运算，即与加法和数乘可交换。

我们只给出性质1 的证明，另一个可用同样方法证明：令

           或

           或 

则 。所以。