§ 5.2 换元法
2.1 第一换元法
定理1 如果 
，又
是
可微函数，则
。
证 由条件，我们有 
，一阶微分有不变性：
，
所以 
。
例1
解 
。
例2 
解 
。
例3 
解
总结 （1）复合函数求导：
是直接的，在不定积分换元法中应用的是同一原理，但现在是倒着走，即要把被积函数人为地拆成
与
乘积，如何拆，要灵活掌握，目标是往已知积分表里的公式靠。
（2）若
，则
是一种常用换元。
（3）在实际运算中不必一定写出这步代换，自己看清就行了。
例4 
解
另一种解法：
例5 
解
例6 
解 
。
又一解法：
例7 
解 
。
例8 
解 
。
又一解法：
事实上这两个答案恰相差一个常数。
例9
解 
。
例10 
解
这个递推公式非常有用，比如
例11 
解
又一解法：
例12 
解
所以 
Ⅰ
Ⅱ
已知Ⅱ求Ⅰ，是第一换元法；
已知Ⅰ求Ⅱ，是第二换元法。
定理2 设
在开区间上导数
或
，又如果
，
则
，其中
为的反函数。
证 已知
，又
，所以
连续，严格单调，因此反函数存在，也连续，严格单调，且
。于是
，
所以 。
第二换元法主要用来求含有
的积分。
例13 
解 令
，
，则
例14
解 令
又一解法： 令
，
，
。
注：上面是对
进行的，对于
同样方法。
例15 
解 令
，
。
例16 
解 令 
