§ 5.4 有理函数积分

有理函数是两个多项式之比，理论上它一定可以积出来。

有理函数可分为真分式和假分式，真分式是指分子次数小于分母次数；假分式是分子次数大于或等于分母次数，用除法，假分式=多项式+真分式。

真分式总可以写成最简真分式之和，后者是形如

，和，

的分式，其中。最简真分式是指：分母为素多项式或素多项式之幂，分子次数小于分母中素多项式次数。在实数中，素多项式只有两种：和，其中。

。

所以有理式 。这个分解过程称为分项分式，通常可用待定系数法求得。

例1

解 设

将右端通分，比较分子同次幂的系数，得

解之，得，，。我们有

例2

解 将分母作因式分解，得。设

将两边乘，令，得；两边乘，令，得；两边乘，令，得；最后令，得。

设是一个真分式，是次多项式，有个零点，可以是实的，也

可以是复的，如果是实系数的，复零点共轭成对出现，我们可以设

其中 。

令

未知数共有个，可认为是次多项式，通分后比较两边的次数，得个方程的方程组，恰好个未知数，个方程，实际上它们是非退化的，能解出这个未知数。具体问题中可用其它方法求出待定系数。