§ 5.5 三角函数有理式的积分

二元有理函数是形如的函数，其中和是二元多项式，即的有限线性组合，三角有理函数是形如的函数，其中为二元有理函数，它是由基本三角函数，，，经有限次四则运算所得的函数。但，，显然不属此列。

一定可以积出来。令（称为万能代换），或

，注意到

。

所以，这样变成通常的有理函数积分，一定可以积出来。但这种“万能公式”往往比较复杂，如果有某种对称性，可以用简单地代换，具体地说如果，这时，可用代换。

若，这时。 我们用代换，

化成有理函数积分，可以积出来。

若，这时 。我们用代换，

也化成有理函数积分，可以积出来。

上述三种代换一般比“万能代换”简单的多，使分子分母最高次减半。

例1

解 令，则

例2

解

例3

解

例4 ， 。

解 ，

所以

例5 。

解

。