§ 5.6 无理函数的积分

1． ，正整数，。令，，

，则

变成有理函数积分，可以积出来。

2． 二项式微分式积分，，为常数，，，有理数。令 ，，则

（Ⅰ）当是整数时，可展成多项式，故可积出来；

（Ⅱ）当为整数时，归结到前一类积分，也可积出来；

（Ⅲ）当是整数时，也归结到前一类积分，可以积出来。

为便于记忆，这类积分都可变换成，当，，有一个为整数时，可以积出来；全都为非整数时，积不出来（切比雪夫证明的）。比如就积不出来。

例1

解 令 ，，设，可用除

法得出：

所以

，

例2 。

解 ，整数，可以积出来

。

3． Euler 代换， 。

是，的有理函数，总能积出来。有三种代换

情形Ⅰ. , 令，

情形Ⅱ. , 令 ，

情形Ⅲ. , 令，其中

。

Ⅰ.

，，

， 。

Ⅱ.

，，

。

Ⅲ.

， ，。

在积分的结果中，除有理函数的原函数（有理函数，，

），再加上就行了。

例3

解 我们已经知道，用Euler代换，这里，

，用Ⅱ，Ⅲ都可，我们用Ⅲ，令，，，，，

所以 。

由此我们有恒等式 ，。

令，得。

如果用Ⅱ，令，则。这时我们有

恒等式

另一种处理的方法

设，，，

问题归结为如下三种积分，

Ⅰ

Ⅱ.

Ⅲ.

Ⅱ中令，Ⅱ变为Ⅰ，所以只要处理Ⅰ,Ⅲ。

对Ⅰ，令，两边求导得，

，阶阶，用待定系数法可定出和。

对Ⅲ，① 当与只差一个倍数时，化为

，

是可以积出来的。

②否则，令，它有两个根，，令

或，可积出来。

例4

解 令，，，

例5

解

解之得 ，，，。