第 六 章 定 积 分

§ 6.1 定积分与不定积分

给定非负函数，定义于闭区间，如果我们要求函数图形下边曲边梯形面积，就需要定积分。

给定闭区间内任意时刻的即时速度，求内走过路程，也需要定积分。

定义 函数定义在上，给任意一个分割

，记，，，作和。

如果存在，则称为在上的定积分，记作。称为积分上限，为积分下限，为被积函数，为积分变量（哑变量），即

用语言表述定：，，使得不管如何分割，如何选取

，只要，就有，则称为在的定积分，记为。

如果在存在定积分，称它为 Riemann可积，简称可积，将来到实变函数论中还有 Lebesgue可积概念。

综上定义： 定积分的定义包含分割，代替，求和，取极限四个步骤。这个极限不同于以前的极限，比较复杂，条件不像以前的或那样简单，固定

，分割有很多种，固定，的选择还有很多种。

定积分与不定积分有密切关系，看例子：速度在通过路程；由原函数定义，，则，一般地我们有

定理1（Newton-Leibinz 公式） 设，，且在

上是的原函数，即，，则

。

证 给定任意一个分割：，

，

这里，，用了Lagrange 中值定理。，由Cantor 定理，在一致连续，所以，，只要，，就有 。

于是，当时，对，有

。

定理2 设在可积（不一定连续），又设在上连续，并且在上，，则。

证 任给一分割，由Lagrange中值定理

，。

因在可积，令，则上式右边。所以

。