§ 6.2 定积分的性质

1. 初等性质

设在可积，实数，则亦可积，且。

设,在可积，则亦可积，且

。

这说明定积分是个线性运算。

设在可积，，则在和都可积，且

反之亦然。

定理（推广的Newton-Leibniz 公式）设在可积，在除去有限个点外是的原函数，这些点或是的连续点或是第一类间断点，则 。

证 。

设在可积，则亦可积，且。

|f(x)|

几何上看 有可能出现正负面积相消情况，将全部负面积翻成正面积之和。

设在可积，，，则。

若，在可积，，，则。

即定积分运算是保序的。

2. 积分第一中值定理

定理 设，和在可积，在不变号，

，，

则存在，，使得。

证 不妨设，则，由积分不等式，我们有

。

若，取任意都行。

若，令 即可。

推论1 若在连续，在上可积，不变号，则，使得

。

推论2 若在连续，则存在，使得。

推论1是积分第一中值定理与连续函数取中间值定理的直接结论。

推论2 的结论中要求，证明还需要作点加工：若为常数，结论显然；若非常数，则，使得， 且，还可找到，使得 ， ；

， 。

所以 ，

取 ，，所以，使得。

3. 变限定积分

用Newton-Leibniz公式，我们知道，若,在上是的原函数，则，有。

但是我们还不知道若原函数是否存在，我们称为变上限定积分，它启示我们它就是的一个原函数。

定理 设，则是在上的一个原函数，满足，并且满足 。

证 为证，，我们固定，

考虑当时：

当时，

因为在连续，，，使得时，有

这时

是区间端点时，左右导数可类似证明。

变限定积分还有一些变种

， ，

，

。

例 设，证明。

证 不妨设，考虑

对，,,，使当时，有

，

由，，使当时，

，且 ，

这时。