§6.3 定积分的换元法、分部积分法和第二中值定理
1． 换元法
定理1 
，
，又
，
，
。 则
。
证 ，它有原函数，记为
，则 
是
的原函
数，由Newton-Leibniz 公式，有
，
及 
，可得结论。
注1
在原函数定义
中“
”仅是一个记号，这个定理告诉我们它可看成
微分，
，
，这样理解换元法公式是自然了。
定理2 设，
，满足
，；
在
严格单调，则
。
证 不妨设严格上升，这时
，给任意一个分割
，因为严格上升，相应地产生
一个分割
，其中
，
。
因在一致连续，
，
，使得
时，有
。
即当
时，有
。
作的任一积分和： 
，
及
的某一积分和：
，
。 因
在一致连续，，
，当
时，有
。
于是
其中 
所以 
。
例1 
。
从这个例子，我们可以看出定积分和不定积分换元有两点区别：1）不定积分换元是
作为整体的变量替换，定积分是作为一个特定区间上的变量替换，有时前者行不通而后者却可以进行； 2）不定积分换元后必须换回去，而定积分换元不必，只要把定积分值算出来就行了。
例 2
1. 
偶函数，则
。
2.
，奇函数 ，则 
。
例3
解 
，
， 
。
。
2 分部积分法
定理3 设
，
，则
。
（
）
证
，
所以
，
即 
。
例4 
解 
，
， 
。
所以
， 
。
证 
时，有
， 采用例4中的记号我们可得
，
， 
所以
3
积分余项的 Taylor 公式
引理 
， 
，有
，
证 
。
定理4 设
，则
，
其中
，
。
证 
时，
。
设
时成立，即
。
。
推论： Lagrange余项
，
介于
，
之间。
Abel变换 
，
，
，令
，
，
，
则
，
它实际上是分部积分公式
给定分割
：令
，
，
之后的一种离散化形式。
定理5 （积分第二中值定理）
设
。
（1）在单调下降，
，
，则
,使得
。
（2） 在单调上升，，，则
，使得
。<