定积分的应用，关键是把问题写成
的形式，这时关键是把
的意义搞清楚，这个观点称为微元法。
比如要求以
，
，
，
所围图形的面积，其中
，
连续，且
。我们考虑从
到
这个微元，它的面积可看成一个矩形，高近似地取
，其面积
。所以所围图形面积为
。
α
如果函数由极坐标给出，我们要求向径
，
和函数
围成
的面积（如右上图）。考虑从
到
这个微元，它近似地可看成是个扇形，面积微元
，所以总面积
。
例1 求曲线
与
围成的图形面积。
解 画图如下，恰如“月上柳梢头，人约黄昏后”的一弯新月，切记做这类问题都要
画图，一是便于理解掌握，二是“诗配画”的意境是一个整体，绝不是单单几个公式一个答案所能涵盖的。
这里把写成
，写成
，它
们是有两个交点
的两条抛物线。
。
例2 求双纽线
所围成的图形面积。
解 作图如右上。 
。
例3
求心脏线
围成的面积。
。
由参数方程 
，
围成的封闭图形，选点
，
，
围成的三角形作为微元，其面积
。
所以 
。
y
(x+△x,y+△y)
(x,y)
(0,0)
x
例4 求旋轮线
与轴围成的面积。
解 
。
A(x)
a
b
x
设一物体位于平面和
之间
，如果对任何
，垂直于
轴的平面与该物体相交的截面积
为已知，考虑从到
微元，其体积微元为
，故
。
y=f(x)
如果有一曲边梯形，沿轴转
，得一旋转体，其体积微元
，故
。若该曲边曲线由参数方程 给出，则
。
y
ds dy
dx
O
x
考虑一段从到弧长微元，勾股定理给出
故弧长
。
特别地，曲线由给出时，
。
由参数方程 
定义的一段曲线，绕轴旋转一周所得的旋转体，其表面积
微元
，故表面积 
。
若曲线由定义，则旋转体侧表面积
。
若曲线由极坐标方程定义，则旋转体侧表面积
。
这是因为这时可看成参数方程
，
。
例 5 求两个半径相等，其轴垂直相交的圆柱面
与
所围成
的立体的体积。
z
a
x
a
a
x
y
解 在八个卦限中立体是对称的，我们只要在第一卦限中体积再乘以 8 即可。过点
作垂直于轴的平面，它于该立体在第一卦限所截图形为一正方形，边长
，其面积为
，故体积为 
。
例 6
求抛物面
与上半球面
，
所围
成的立体的体积。
z