§7.2 定积分的物理应用
设计铁路转弯时，里外两轨要有一定高度差，这由设计车速和曲率来决定，所以计算
曲线曲率是很重要的一件工作。
令
表示曲线斜率正切对应的角度，
表弧长，则曲率定义为 
。
如果曲线由参数方程
给出， 
，由
，
及
，得
。
如果曲线由
给出，则 
。
如果曲线由极坐标
给出，则 
。
曲率的倒数，
，称为曲线在该点的曲率半径，过该点与曲线有相同一阶，二阶
导数的圆周
称为曲率圆。
R
M
平面简单曲线 
，如果其上定义一个线密度
，则曲线
的质量公式
。
曲线对
轴和
轴的静力矩是
，
。
的质心
，
。
特别地，当曲线质量是均匀分布的，不妨设
，则
， 
。
由最后一式可得
。
古鲁金定理
平面曲线绕此平面上不与其相交的轴旋转一周，生成的旋转体侧面积等于此曲线的质心绕同一轴旋转所产生的圆周长乘以该曲线的弧长。
y
y=f(x)
y=g(x)
O
x x+dx
x
例：求
绕轴转动所成圆环侧面积。
现考虑平面图形的质心。
质量微元
，
关于轴的静力矩微元
，
关于轴的静力矩微元
。
所以平面图形质心的坐标为：
；
由上式，我们得
，即
。
其中
是平面图形的面积，
是该平面图形绕轴旋转所得立体的体积。
古鲁金定理 一平面图形绕与其不相交的轴（可以是它的边界）旋转所得立体的体积
等于该平面图形面积与重心绕轴旋转的周长的乘积。
质点
到定轴
的距离为
，转动的角速度
为常数，则质点动能
我们称
为质点对轴的转动惯量。
例 求曲线
，
关于轴及轴的转动惯量。
解 
为曲线密度，
。
，
。
静力矩计算中，用到
型积分，数学上我们称为一阶矩；转动惯量计算中，
用到
型积分，数学上我们称之为二阶矩；一般地在数学上可定义
阶矩：
。
两个质点
，
，相距，则其间万有引力为 
。如果有一均匀细棒，
长
，质量
，在其延长线上离中心距离为
处有一质点
，质量为单位
，则棒对它引力元
0 
a 
， 
。
力
沿它作用方向运动
，作功为 
，则从
到
作功
。
如果有三维物体，体密度为
，则对其外单位质量质点引力
为
，
，
。
我们有必要研究多元微积分学。