定义： 设
，
都是
上无穷小量，且
。
1） 若
，
，
，则称，为同阶无穷小量， 若
，
称它们为等价无穷小量，记作~ （
）。
2） 若
，则称是较的高阶无穷小量， 记作 
（）。
3） 若
，使得
，
，则记作 
（）。
由定义我们有：
~ 
（
）， 
~
（），
~ 
（）。
类似的对无穷大量， 我们也有
定义 设，都是上无穷大量，且。
1） 若，，，则称，为同阶无穷大量， 若，
称它们为等价无穷大量，记作~ （）。
2） 若，则称是较的低阶无穷大量， 记作
（）。
3） 若使得，，则记作 （）。
由定义我们有：
~ 
（
）， 
（
），
（）。
当时，我们称与
同阶的无穷小量为
阶无穷小；当时，我们称与
同阶的无穷小量为阶无穷小。类似的可以定义阶无穷大量。
关于
与
的运算，我们有如下三原则：
1） 
（），
2） 
（），
3） 
（），
4） 
（）。
注 这里的等式与通常等式意义不同，它只表明极限运算的性质，即从左边推出右边，反之不成立。
1）
的证明 令
， 
，（）， 即
，
。
则 
，
即 
（）。
2）
的证明 令
， 
，（），
即 
， 
则 
， 即 
， （）。
3）
的证明 令
，
，（），
即 
， 
。
则 
， 即 （）。
4）
的证明类似于3），省略。
例 当时，求
的等价无穷小量。
解 
所以 ~ 。