我们已经得到积分余项的Taylor公式： 
，则
其中
，
。
对
的积分表达式用微分第一中值定理，
介于
与
之间。这称为Lagrange余项。这里，要求
的
阶导数连续，太强了些，事实上阶导数存在即可。
在Lagrange余项Taylor公式中，其余项显然满足
这样的余项称为Peano余项，实际上关于Peano余项的Taylor公式也不需要这么强的条件。
在下两个小节中我们给出合适的光滑条件的带Peano余项的Taylor公式和带Lagrange余项的Taylor公式。
2． Peano余项的Taylor公式
函数在点可微，等价于在点可导，依定义有
从逼近观点，
是个一阶多项式（即线性函数），上式表明，在
可导条件下，可以用这一阶多项式逼近（线性逼近），误差是相对
的高阶无穷小。现在我们想推广到
阶多项式逼近，误差为高于阶的无穷小量：
定理1 若成立，则逼近多项式唯一。
证 设
。
我们来证
，
。
令
，我们得
，等式两边消去常数项，除以，得
。
再令，我们得
，如此进行，我们得，直到
。
定理2 设在点的阶导数存在，则
。
证 要证
，
在点的阶导数存在，意味着在点某邻域
上有直到
阶导数，且连续，用次del
Hospitale法则
。
公式中
称Peano余项， 
称为 阶Taylor多项式。当 
时， 
也称为带Peano余项的Maclaurin公式， 在 点有 阶导数是Taylor公式成立的充分条件，而非必要，这一点与一阶时不同，有如下反例：
，
为Dirichlet函数，在
连续，
间断，当然不可导，但
，即Taylor公式却成立！
定理3 设
，在
上
阶导数存在，
，则有
其中介于与
之间。
证明 作两个辅助函数：
容易验证它们在
上连续，在内部
可导，且
及
，现在我们用Cauchy中值定理
由此我们得
注：定理3中条件改为在上阶导数存在，，定理结论仍然成立。
推论 设在上有
，则为一至多次多项式。
证明 取
，
，由Lagrange余项的Taylor公式，我们有
它是一个至多次的多项式函数。
当
时，带Lagrange余项的Taylor公式也称为带Lagrange余项的Maclaurin公式。
求一个函数的Taylor展开，关键是计算高阶导数，下面我们给出常见函数的Maclaurin
展开。
例1 
， 
，
。
例2
，
，。
例3
，
，。
例4
，
，。
例5
，
，。
例6
，
，
。
例7
。
，。
有些函数
计算很难，但
可以很容易求出来，这时我们得到Peano余项Taylor展开。
例8 
，我们已经知道
，
，所以
。
例9
。
还有的函数，一般地计算
也比较复杂，但前项导数的计算也可实现，这时我们可以计算指定阶数的Taylor展开。
例10 
展开到
项的Taylor展开。
解 
。
例11 展开
到
项的Taylor公式。
解 
。
例12 求极限 
。
解 
。
例13