§7.6 函数的升降与极值，凸凹与拐点

1． 函数的升降

定理1 设，在上可导，则

1） 在是上升的。

2） 在是下降的。

证 只证1）

必要性 设在上升，，

，

令，得。

充分性 ，，，在用Lagrange定理

，

所以。

定理2 设，在可导。则在严格上升（下降）充要

条件是：

1） ，

2） 不在的任一子区间上恒为。

证 必要性 设在严格上升，由定理1知。用反

证法证2），如果使得，，则，与严格上升矛盾。

充分性 设知在上升。用反证法证严格上升，如果不然，，

，，使，为上升的，所以，，那么，，与2）矛盾。

1． 函数的极值

定理3 设在可导，，存在，则

1） 当时为严格极大值；

2） 当时为严格极小值。

证 Fermat定理说是极值，必有，本定理则给出判定极值点的充分条件，由Taylor公式

。

当时，为无穷小量，，使得当时，与同号，故当时，，，即为严格极小值，当时，，，即为严格极大值。

例1 证时，，且等号成立当且仅当。

证 时显然等号成立。只要证和时严格不等式成立。

先证。考虑函数，，=

。当时，，所以在严格上升，故，即。当时，，所以在严格下降，故

，即。

再证。当时，，，

，即。

当时，，，也得。

2． 函数的凸凹性

定义 设定义于，，，若

，，

则称 为 上的凸函数，若 时严格不等号成立，称为严格凸函数；不等号反过来分别称为凹函数和严格凹函数。

直观 连接两点和的直 y

线段方程为 ，。

如曲线任意两点间弧段，总位于连接

两点的直线段之下，则称它为凸的。 O x₁ x₂ x

凸凹性都是从下往上看得来的概念。

在曲线上任取三点，，，自变量按顺序

，则量

代表连接这三点的三角形的有向面积。

y y