《数学分析》课程教学大纲

（Mathematical Analysis）

适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学

课程学时：282

课程学分：17

一、课程的性质与任务

数学分析是数学专业本科生的一门重要基础课。要求学生掌握微积分学的经典理论，提高学生的逻辑推理能力和计算能力，加强数学素养并初步学会用数学看问题和用数学解决问题。

二、课程的内容与基本要求

第一章 实数集与函数

§ 1 实数

复习并掌握实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式。了解位不足近似的定义，位过剩近似的定义。

§ 2 数集·确界原理

复习并掌握区间概念。掌握确界定义，邻域定义，确界原理。了解确界原理的证明。

§ 3 函数概念

复习并掌握函数的定义，函数的表示法（解析法，列表法等），函数的四则运算，复合函数，反函数，初等函数。

§ 4 具有某些特性的函数

复习并掌握有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。 

第二章 数列极限

    § 1 数列极限概念

掌握数列定义，数列极限的 定义以及它的等价定义，无穷小数列定义。

§ 2 收敛数列的性质

掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性质、迫敛性、有理运算，子列的定义，数列收敛与其非平凡子列收敛的关系。

    § 3 数列极限存在的条件

    掌握单调数列的定义，单调有界数列极限存在定理，，数列收敛的柯西收敛准则（证明在第七章给出）。

难点：单调有界原理的运用。

第三章 函数极限    

§ 1 函数极限概念

掌握趋于时函数极限的定义，趋于时函数极限的定义，单侧极限的定义，函数极限与相应的左右极限之间的关系。

§ 2 函数极限的性质

掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性质、迫敛性、有理运算。

§ 3 函数极限存在的条件

理解函数极限的归结原则（Heine定理），函数极限的柯西准则。

§ 4 两个重要极限

    掌握两个重要极限。

§ 5 无穷小量与无穷大量

掌握无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量阶的比较，记号O, o, ∽，曲线渐近线的定义，曲线渐近线的求法。

第四章 函数的连续性

§ 1 连续性概念

掌握函数在一点连续的定义，单侧连续的定义，间断点的定义及间断点的分类，在区间上连续函数的定义。

§ 2 连续函数的性质

掌握连续函数的局部有界性，局部保号性，有理运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，闭区间上连续函数的基本性质——有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性。

难点：一致连续性

§ 3 初等函数的连续性

理解初等函数的连续性。

 [附注]在讲授“初等函数的连续性”时，可给出“实指数的乘幂”的定义。

第五章 导数和微分

§ 1 导数的概念

掌握引入问题，导数的定义，导数的几何意义，单侧导数定义，导函数定义，可导与连续的关系，极值的定义，费马定理，达布（Darboux）定理。

§ 2 求导法则

掌握和、差、积、商的导数，反函数的导数，复合函数的导数，初等函数的导数，对数求导法，基本求导法则与公式。

§ 3 参变量函数的导数

掌握光滑曲线的定义，由参量方程表示的曲线的斜率。

§ 4 高阶导数

掌握高阶导数的定义，理解高阶导数的莱布尼茨（Leibniz）公式。

§ 5 微分

掌握微分的概念，一元函数可导与可微的关系，可微函数的定义，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，高阶微分的定义，微分在近似计算中的应用。

第六章 微分中值定理及其应用

§ 1 拉格朗日定理和函数的单调性

掌握罗尔(Rolle)中值定理及其几何意义，拉格朗日(Lagrange)中值定理及其几何意义，函数单调性的判别法，理解导数极限定理。

§ 2 柯西中值定理和不定式极限

掌握柯西中值定理及其几何意义，罗比塔（L’Hospital）法则。

§ 3 泰勒公式

掌握泰勒(Taylor)定理（佩亚诺（Peano）型余项及其拉格朗日(Lagrange)型余项）。了解Taylor公式在近似计算中的应用。

§ 4 函数的极值与最大（小）值

掌握极值的第一充分条件，极值的第二充分条件，极值的第三充分条件，最大值与最小值的求法。

[附注]讲极值时可讲简单的数学模型。

§ 5 函数的凸性与拐点

掌握凸函数与凹函数的定义，凸函数的性质与判断，拐点的定义，拐点的判断。

§ 6 函数图象的讨论

掌握函数图象的讨论。

§ 7 方程的近似解

了解牛顿切线法。

第七章 实数的完备性

§ 1 关于实数集完备性的基本定理

复习并掌握确界的存在定理，数列的单调有界定理，数列的柯西收敛(Cauchy)准则。掌握区间套定义与区间套定理，聚点定理，有限覆盖定理。了解实数完备性基本定理的等价性。

重点：各定理的联系和基本作用。

难点：定理的运用。

[附注] 可用区间套定理为主要工具证明其它定理。

§ 2闭区间上连续函数性质的证明

理解闭区间上连续函数性质的证明。

§ 3 上极限和下极限

了解上极限与下极限的概念。

第八章 不定积分

§ 1 不定积分概念与基本积分公式

掌握原函数与不定积分概念，不定积分的几何意义，基本积分表，线性运算法则。

[附注]连续函数的原函数存在性的证明留待下一章“定积分”中进行。

§ 2 换元积分法与分部积分法

掌握第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法。

§ 3 有理函数和可化为有理函数的不定积分

掌握有理函数积分法，某些无理根式的不定积分

（等）。

第九章 定积分

§ 1 定积分的概念

掌握引入问题（曲边梯形面积与变力做功），定积分的定义，定积分的几何意义。

§ 2 牛顿-莱布尼茨公式

掌握牛顿—莱布尼茨公式。

§ 3 可积条件

掌握可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类（在闭区间上连续函数、在闭区间只有有限个间断点的有界函数、在闭区间上单调函数）

§ 4 定积分的性质

掌握定积分的基本性质——线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性，积分第一中值定理及其几何意义，推广的积分第一中值定理。

§ 5 微积分学基本定理·定积分计算（续）

掌握变限积分的定义，微积分学基本定理，定积分的换元积分法与分部积分法。理解泰勒公式的积分型余项，积分第二中值定理

§ 6 可积性理论补叙

了解上和与下和的性质，可积的第一充要条件，可积的第二充要条件，可积的第三充要条件。

第十章 定积分的应用

§ 1 平面图形的面积

掌握求简单平面图形面积的方法。

§ 2 由平行截面面积求体积

掌握由截面面积函数求立体体积的一般计算公式和旋转体的体积公式。

§ 3 平面曲线的弧长与曲率

掌握平面曲线的弧长与弧微分，了解曲率。

§ 4 旋转曲面的面积

理解“微元法”，掌握旋转曲面的面积。

§ 5 定积分在物理中的某些应用

理解定积分在物理中的某些应用（液体静压力、引力、功与平均功率等）

§ 6 定积分的近似计算

了解定积分的近似计算（矩形法、梯形法、抛物线法）

第十一章 反常积分

§ 1 反常积分概念

掌握：无穷限反常积分概念，无界函数反常积分概念。

§ 2 无穷积分的性质与收敛判别

掌握无穷积分的柯西准则，无穷积分收敛的线性运算法则，绝对收敛，比较法则，阿贝尔（Abel）判别法与狄利克雷(Dirichlet)判别法。

§ 3 瑕积分的性质与收敛判别

掌握瑕积分的柯西准则，瑕积分的线性运算法则，绝对收敛，比较法则。

第十二章 数项级数

§ 1 级数的收敛

掌握数项级数的定义，数项级数收敛与和的定义，级数收敛的柯西准则，收敛级数的基本性质。

§ 2 正项级数

掌握正项级数的定义，比较原则，比式判别法与根式判别法，积分判别法。了解拉贝判别法。

§ 3 一般项级数

掌握交错级数的定义，莱布尼茨判别法，一般项级数的绝对收敛与条件收敛，阿贝尔（Abel）判别法与狄利克雷(Dirichlet)判别法。理解绝对收敛级数的两个重要性质——级数的重排、级数的乘积。

第十三章 函数列与函数项级数

§ 1 一致收敛性

掌握函数列及其一致收敛的定义，函数列一致收敛的柯西准则，函数项级数及其一致收敛的定义，函数项级数一致收敛的柯西准则，维尔斯特拉斯(Weierstrass)优级数判别法，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

§ 2 一致收敛函数列与函数项级数的性质

掌握函数列的极限函数与函数项级数的和函数的连续性、可积性与可微性。

第十四章 幂级数

§ 1幂级数

掌握幂级数的定义，阿贝耳定理，收敛半径与收敛区间，一致收敛性，幂级数的性质，幂级数的运算。

§ 2 函数的幂级数展开

掌握泰勒级数与泰勒展开式的定义，泰勒展开的充要条件，初等函数的幂级数展开。了解用幂级数产生非初等函数。

§ 3 复变量的指数函数·欧拉公式

了解复变量的指数函数与欧拉公式。

第十五章 傅立叶级数

§ 1 傅立叶级数

掌握三角级数，三角函数系的正交性，傅立叶级数，按段光滑且以为周期的函数展开为傅立叶级数的收敛定理。

§ 2 以为周期的函数的展开式

掌握以为周期的函数的傅立叶级数，奇函数与偶函数的傅立叶级数。

§ 3 收敛定理的证明

了解贝塞尔（Bessel）不等式， Riemann-Lebesgue定理，傅立叶级数的部分和公式，收敛定理的证明。

第十六章 多元函数的极限与连续

§ 1 平面点集与多元函数

掌握平面点集概念（邻域、内点、外点、界点、聚点、孤立点、开集、闭集、开域、闭域等），二元函数概念，n元函数的概念。理解平面点列收敛柯西准则，平面点集的基本定理——区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。

§ 2 二元函数的极限

掌握二重极限，累次极限，二重极限与累次极限的关系。

§ 3 二元函数的连续性

掌握二元函数的连续性，复合函数连续性定理。理解有界闭域上多元连续函数的性质（有界性与最大值、最小值定理，一致连续性定理，介值性定理）。

[附注]：讲解时应从直线到平面、从一元到多元，注重联系与区别。

第十七章 多元函数微分学

§ 1 可微性

掌握全微分的定义，偏导数定义及其几何意义，可微的必要条件，可微的充分条件，可微性几何意义及应用。

§ 2 复合函数微分法

掌握复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性。

§ 3 方向导数与梯度

掌握方向导数与梯度的定义，方向导数与偏导数的关系。

§ 4 泰勒公式与极值问题

掌握高阶偏导数的定义，混合偏导数与求导顺序无关性，复合函数的高阶偏导数，二元函数极值，二元函数最值。理解二元函数的中值定理和泰勒定理。

第十八章 隐函数定理及其应用

§ 1 隐函数

掌握隐函数定义，隐函数定理，隐函数求导。

§ 2隐函数组

了解隐函数组概念，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标变换。

§ 3 几何应用

掌握利用隐函数的微分法求平面曲线与法线，曲面的切平面与法线。了解利用隐函数组的微分法求空间曲线的切线与法平面。

§ 4 条件极值

掌握条件极值与拉格朗日乘数法。

第十九章 含参量积分

§ 1 含参量正常积分

掌握含参量正常积分概念，含参量正常积分的连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换。

§ 2 含参量反常积分

掌握含参量反常积分概念，含参量反常积分一致收敛的定义，含参量反常积分一致收敛的柯西准则，含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系，维尔斯特拉斯判别法，含参量反常积分的连续性、可积性与可微性，含参量反常积分积分顺序的交换。理解狄利克雷判别法，阿贝尔判别法。

§ 3 欧拉积分

掌握函数与函数，函数与函数之间的关系。

第二十章 曲线积分

§ 1 第一型曲线积分

掌握第一型曲线的定义，第一型曲线积分的计算。

§ 2 第二型曲线积分

掌握第二型曲线的定义，第二型曲线积分的计算。了解两类曲线积分的联系。

第二十一章 重积分

    § 1 二重积分概念

掌握平面图形的面积，二重积分的定义与存在性，二重积分的性质。

    § 2 直角坐标系下二重积分的计算

掌握二重积分计算（化为累次积分）。

§ 3 格林公式·曲线积分与路线的无关性

    掌握格林公式，曲线积分与路线的无关性。

    § 4 二重积分的变量变换

    掌握二重积分的变量变换公式，用极坐标计算二重积分。

§ 5 三重积分

    掌握三重积分的定义与计算（化为累次积分），三重积分的换元法（柱面坐标变换，球坐标变换与一般变换）。

§ 6 重积分的应用

    理解重积分的几个应用（曲面的面积、重心、转动惯量、引力）。

 § 7 n重积分

了解n重积分。

§ 8 反常二重积分

    了解无界区域上反常二重积分的收敛性概念，无界函数的反常二重积分的收敛性概念。

    § 9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明

    了解在一般条件下重积分变量变换公式的证明。

第二十二章 曲面积分

§ 1 第一型曲面积分

掌握第一型曲面积分的概念，第一型曲面积分的计算。

§ 2 第二型曲面积分

掌握曲面的侧，第二型曲面积分的概念，第二型曲面积分的计算。了解两类曲面积分的联系。

§ 3 高斯公式与斯托克斯公式

掌握高斯公式与斯托克斯公式，空间曲线积分与路线的无关性。

§ 4 场论初步

了解场的概念，梯度场，散度场，旋度场，管量场与有势场。

说明：

1、了解部分的内容时间不够可不讲。

2、本课程拟开设三个上机实验（若不具备条件暂不开设），它们是：

☆ 实验1 求方程的根

时间：指导一学时，实验两学时。安排在微分中值定理及其应用后。

参加：全体学生。

要求：学生在听懂数学思想（零点存在定理或牛顿切线法及新思想）后自编程序上机解方程，并比较方法的优劣。交程序清单及上机结果。

形式：学生自己课外完成。

☆ 实验2 求平面上封闭图形的面积

时间：指导一学时，实验两学时。安排在定积分后。

参加：全体学生。

要求：学生在听懂数学思想（以直代曲，逐步逼近）后自编程序先上机求曲边梯形的面积，再求较一般图形的面积。交程序清单及上机结果。

形式：学生自己课外完成。

☆ 实验3 求

时间：指导一学时，实验两学时。安排在幂级数后。

参加：全体学生。

要求：学生在听懂数学思想（积分法、级数法、蒙特卡罗法）后自编程序上机求值。交程序清单并打印的前100位有效数字。

形式：学生自己课外完成。

三、学时分配

四、教学方法与手段说明

本课程教学方法以讲授为主，讲练结合主要是练，处理习题，训练数学思想，提高学生解题能力，讲授课以讨论式激发学生思考问题。在教学过程中辅以电子课件或投影胶片，提高课堂教学效率以解决内容多课时紧的矛盾。拟开设三个上机实验（若不具备条件暂不开设），激发学生的学习兴趣，提高他们学习的积极性与主动性。

五、考核方式

三个学期均闭卷考试并教考分离、集体阅卷，最后做卷面分析。

六、本课程教材选用及参考文献

建议选用教材：华东师范大学数学系《数学分析》第三版，高等教育出版社。

主要参考文献：

[1]菲赫金哥尔茨，微积分教程（共8册），人民教育出版社。

[2]吉米多维奇，数学分析习题集，人民教育出版社。

[3]复旦大学，数学分析，高等教育出版社。

[4]刘玉莲，傅沛仁，数学分析讲义，高等教育出版社。

[5]徐利治，数学分析的方法及例题选讲（修订版），高等教育出版社。

                                         执笔人：余桂东

                                         审稿人：叶淼林