问题1：如何判别一个函数是初等函数还是非初等函数？

  答：初等函数就是由基本初等函数（常函数、幂函数、指数函数、对数 函数、三角函数、反三角函数）经过有限次的四则运算和有限次的复合而成的，用一个解析式子表达的函数。

如 

为多项式函数，它就是由常函数与幂函数经过有限次四则运算得到，故为初等函数。

不是初等函数的函数，称为非初等函数。如黎曼函数，荻利克莱函数等。

命题1、任何初等函数都在它有定义的区间上连续。

命题2、如果函数在其定义区间的某个点处间断，则函数必是该区间上的非初等函数。如   （Gauss函数）。

命题3、设函数是实数集E上的分段函数，若它在每一段上都是初等函数，且在所有分段的界点处连续，则是E上的初等函数。

命题4、设函数是实数集E上的分段函数，若它在每一段上都是初等函数，且所有分段的界点都不属于E，则函数仍是E上的初等函数。

函数是否为初等函数与x的取值范围有关。如不为初等函数，但当时它为初等函数。

 

问题二、何谓数学上的三次数学危机？怎样解决的？

 

简答：第一次数学危机是无理数与不可公度量的发现。这对毕达哥拉斯学派“万物皆（整）数”的哲学思想给了致命的一击，这个“逻辑上的丑闻”是数学基础的第一次危机。

大约在公元前370年，才华横溢的希腊数学家欧多克索斯以及柏拉图和毕达哥拉斯的学生阿契塔给出了两个比相等的定义，从而巧妙地消除了这一“丑闻”，然而。从根本上克服这一危机是现代实数理论的建立，在实数理论中无理数可以定义为有理数列的极限，这样又恢复勒毕达哥拉斯的“万物皆数”的思想。

在微积分的发展过程中，一方面是丰硕的成果；另一方面是基础的不稳固，出现了越来越多的谬论和悖论，数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机。由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机。

第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔，1754年他指出，必须用可靠的理论去代替当时较粗造的极限理论，但是他本人未能提供这样的理论。后来分析学的奠基人法国多产的数学家柯西在1821－1823年间出版《分析教程》、《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作，他指出了数学分析一系列基本概念的精确定义。如连续，导数，微分，定积分和无穷级数的收敛性等。后来在1874年德国的数学家魏尔斯特拉斯提出了一个规划（1）逻辑地构造实数系（2）从实数系出发去定义极限概念、连续性、可微性、收敛和发散。这个规划称为分析的算术化。在接近19世纪末，这个规划终于完成。总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固，柯西的贡献是将微积分建立在极限论的基础上，尔魏尔斯特拉斯的贡献在于先逻辑地构造实数系，因而，建立分析基础的逻辑顺序是实数系—极限论—微积分。

到19世纪末，康托尔的集合论已经得到了数学家们的承认，集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了“绝对的严格”，但是，正当大家兴高采烈地庆贺数学的绝对严格时，数学王国的大地爆发了另一次强烈的地震。数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的，它是在康托尔的一般集合论的边缘发现的悖论造成的。1897年意大利数学家福蒂（B.Forti）揭示了集合论中的第一个悖论，后来英国数学家罗素在1919年提出了著名的理发师悖论：某村的一个理发师宣称，他给所有不给自己刮脸的人刮脸，那么理发师是否给自己刮脸？

第三次数学危机使数学家们意识到应当建立某种公理化体系来对集合论作出必要的规定，以排除“罗素悖论”和其它悖论，于是不久就产生了好几种公理体系。其中ZFS公理系统时现代数学中用得最广泛得公理系统。但第三次数学危机从整体看来还没有解决到令人满意的程度。

 

问题三、数列有界与极限存在有何关系？函数在上是否有界？这个函数是否为时的无穷大？

答：数列有界，其极限不一定存在，如；反之数列极限存在，则该数列一定有界。

   函数在上是无界，但当时不是无穷大，因为取，。

 

问题四：怎样定义两个无穷小是同阶无穷小？任意两个无穷小都可以进行阶的比较吗？

       

答：关于同阶无穷小的定义有不同的说法：

 

（1）       若，且，称为时的同阶无穷小。

（2）       若存在正数L,K使得在某个上有，称为时的同阶无穷小。

并非任意两个无穷小量阶都可以进行比较。如时，与 都是无穷小量，但它们不能进行阶的比较。

 

问题五：实数系完备性的若干等价定理内容，它们在有理数集内是否成立？

 

答：描述实数系的完备性有许多等价命题，这些等价命题是极限论和微积分的理论基础。这里介绍常用的8种。

定理1：（戴德金Dedekind的实数的连续性定理）

若将实数集R任意分割为二集B与，且满足

1）（不漏）；

2）（不空）；

3）若对，都有（不乱），则 是无隙分划，即或者B中有最大数，或者中有最小数。

定理2：（确界原理）非空有界数集必有上下确界。

定理3：（单调有界定理）任何单调减且有下界的数列必有极限。

任何单调增且有上界的数列必有极限。

定理4：（柯西收敛准则：完备性定理）

实数列收敛的充要条件是：当时，有成立。

定理5：（闭区间套定理）设有闭区间列满足：

        1）；

        2）

        则存在唯一的实数c，满足.

定理6：（Heine—Borel有限覆盖定理）

        设Н是一个开区间族，覆盖着有界闭集F,则必可从Н中选取有限个开区间覆盖F(即有界闭集上的任何一个开覆盖必存在有限覆盖)。

定理7：（Bolzano—Weierstrass聚点定理）

        任何有界的无穷点集都有聚点。

定理8：（Weierstrass致密性定理）

        任何有界的实数列必存在收敛的子列。

如数集单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则（在有理数集内）不适用。

问题六：关于函数的各种可积性的关系？

  答：若黎曼可积，则也黎曼可积；反之不成立。

若广义可积，也广义可积；反之不成立。

若勒贝格可积则等价于也勒贝格可积。

问题七：二元函数二重极限与累次极限的关系如何?

 

   答：1）两个累次极限都存在且相等，但二重极限可能不存在。

2）二重极限存在，但两个累次极限可能都不存在。

3）两个累次极限可能一个存在，一个不存在，也可能都存在但不相等。

4）若某个累次极限、二重极限都存在，则二者相等。

5）当两个累次极限都存在但不相等时，二重极限一定不存在。

若两个累次极限都存在且相等，则称累次极限可以交换次序，有关微分号，积分号、和号、极限号的许多交换次序的问题，本质上都是两个累次极限交换次序的问题。